Kvadratická nerovnice x^2-2x je menší než 0

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

V oboru reálných čísel řešte nerovnici

$LaTeX: x^2-2x<0.$

Řešení

Řešení pomocí nulových bodů a rozdělení reálné osy na intervaly

Graf funkce $LaTeX: y=x^2-2x$

Funkce $LaTeX: x^2-2x$ je spojitá a proto na intervalech, kde je nenulová, nemůže měnit znaménko. Zjistíme tedy, v kterých bodech nabývá nulové hodnoty, tyto nulové body rozdělí reálnou osu na intervaly, kde funkce nemůže měnit znaménko. Nulové body hledáme jako řešení kvadratické rovnice (Řešené příklady na kvadratické rovnice)

$LaTeX: x^2-2x=0.$

Zjistíme tak, že levá strana je rovna nule pro $LaTeX: x=0$ a $LaTeX: x=2$ . Stačí tedy určit, jaké má funkce $LaTeX: x^2-2x$ znaménko na intervalech $LaTeX: (-\infty,0)$ , $LaTeX: (0,2)$ a $LaTeX: (2,\infty)$ . To provedeme dosazením libovolného bodu z příslušného intervalu:

$LaTeX: (-\infty,0)$ : Dosadíme např. $LaTeX: x=-1$ : $LaTeX: x^2-2x=(-1)^2-2\cdot(-1)=3>0$ , funkce je na tomto intervalu kladná, $LaTeX: x\in(-\infty,0)$ tedy nesplňují nerovnici ze zadání.
$LaTeX: (0,2)$ : Dosadíme např. $LaTeX: x=1$ . $LaTeX: x^2-2x=1^2-2\cdot1=-1<0$ , funkce je na tomto intervalu záporná, $LaTeX: x\in(0,2)$ tedy splňují nerovnici ze zadání.
$LaTeX: (2,\infty)$ : Dosadíme např. $LaTeX: x=3$ : $LaTeX: x^2-2x=3^2-2\cdot3=3>0$ , funkce je na tomto intervalu kladná, $LaTeX: x\in(2,\infty)$ tedy nesplňují nerovnici ze zadání.