Obsah obrazce mezi křivkami y=sin(x) a y=cos(x)

Z MatWiki

Zadání

Vypočítejte obsah obrazce ohraničeného křivkami $LaTeX: y=\sin x$ a $LaTeX: y=\cos x$ pro $LaTeX: x\in\langle0;\pi\rangle$ .

Řešení

Obsah vypočítáme užitím určitého integrálu.

Je-li plocha vymezena dvěma křivkami $LaTeX: f(x)$ , $LaTeX: g(x)$ , přičemž $LaTeX: g(x) \leq f(x)$ na $LaTeX: \langle a,b\rangle$ , pak je její obsah určen vztahem

$LaTeX: S = \int\limits_a^b \left[f(x)-g(x)\right]\ \text dx$

Protože na celém intervalu $LaTeX: \langle0;\pi\rangle$ není splněna podmínka $LaTeX: g(x) \leq f(x)$ , rozdělíme výpočet na dvě části. V daném intervalu se grafy funkcí protínají pro $LaTeX: x=\frac\pi4.$

$LaTeX: x\in\left\langle0;\frac\pi4\right\rangle\ \Rightarrow\ \cos x\geq\sin x$

$LaTeX: S_1 = \int\limits_0^{\frac\pi4} [\cos x-\sin x]\ \text dx=[\sin x+\cos x]_0^{\frac\pi4}=\sqrt2-1$

$LaTeX: x\in\left\langle\frac\pi4;\pi\right\rangle\ \Rightarrow\ \sin x\geq\cos x$

$LaTeX: S_1 = \int\limits_{\frac\pi4}^\pi [\sin x-\cos x]\ \text dx=[-\cos x-\sin x]_{\frac\pi4}^\pi=\sqrt2+1$

$LaTeX: S=S_1+S_2=2\sqrt2$

Obsah obrazce mezi křivkami y=sin(x) a y=cos(x)

Z MatWiki

Zadání

Řešení

Zobrazení

Osobní nástroje

Navigace

Hledat

Nástroje