Rychlokurz počítání elementárních limit funkcí

Z MatWiki

Obsah

1 Spojitost a dosazování
2 Dodefinování
3 Vytýkání
4 Určení dominantního členu
5 Odmocniny
6 Dva policajti
- 6.1 Verze pro limitu posloupnosti
- 6.2 Verze pro limitu funkce
7 Tabulkové limity
8 Částečné limitění a obecná mocnina
9 Aritmetika limit
10 Limita složené funkce
11 L’Hospitalovo pravidlo
12 Praxe
- 12.1 Logaritmy
- 12.2 Rozdíl exponenciálních funkcí

Spojitost a dosazování

Co je to vlastně limita? Zjednodušeně by se dalo říct, že zkoumáme, k jaké funkční hodnotě se funkce blíží, pokud se blížíme k nějaké zadané hodnotě nezávislé proměnné. Nás sice nezajímá, jakou hodnotu má v zadaném bodě (či zda je tam vůbec definovaná), ale pokud je funkce spojitá, tak se logicky bude z obou stran k funkční hodnotě v zadaném bodě blížit. Výpočet je pak velice snadný — dosazení — takovou radost nám však zadavatelé dávají jen velice zřídka.

Dodefinování

Mějme následující limitu:

$LaTeX: \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x^2 -3x + 2}.$

Po dosazení zjistíme, že ve dvojce není funkce definovaná, budeme se tedy snažit funkci nějak upravit. Ze střední školy umíme jmenovatel (kvadratická funkce) složit na součin $LaTeX: (x - 2) \cdot (x - 1)$ . Teď bychom mohli krátit… ale můžeme?

Můžeme si jen tak upravit předpis limity? $LaTeX: x - 2$ v čitateli i ve jmenovateli má vždy stejnou hodnotu, ať do tohoto výrazu dosadíme cokoliv. Jediný problém nastává, když $LaTeX: x = 2$ . Dostáváme 0/0, což není definovnáno. Můžeme se jen tak zbavit nedefinovaného výrazu? Můžeme, protože funkce nás ve dvojce „nezajímá”, počítáme limitu v jejím okolí. Všude jinde hodnotu funkce neměníme, takže můžeme limitu dál počítat.

Počítáme teď limitu funkce, která je nově ve dvojce spojitá, dodefinovali jsme si ji tam:

$LaTeX: \lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 1}$

a vychází nám hezká jednička.

Vytýkání

V předchozím bodě jsme počítali s limitou ve vlastním bodě, teď se v rychlosti podíváme na limitu v nevlastním bodě (teorii si doplňte sami).

$LaTeX: \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{3x^2 + 5x + 7}$

Čitatel i jmenovatel nám jdou do nekonečna, to nepotěší. My teď musíme rozhodnout, jak jsou ta nekonečna „velká”. S rostoucím $LaTeX: x$ nám obě funkce rostou a uvidíte, že lineární a absolutní členy budou mít časem čím dál menší důležitost a dominantní část hodnoty bude vytvářet právě kvadratický člen. Vytkneme jej tedy.

$LaTeX: \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 \cdot (1 + \frac 3x + \frac{2}{x^2})}{x^2 \cdot (3 + \frac 5x + \frac{7}{x^2})}$

Když teď $LaTeX: x^2$ pokrátíme (z předchozí kroku již víme, že můžeme, pokud nám x jde do nekonečna), tak zjistíme, že v čitateli nám zbývá „1 a nějaké zbytky, které půjdou k nule” a ve jmenovateli zbyde „3 a též nějaké zbytky”. Ty „zbytky” poznáme tak, že jim nekonečně roste jmenovatel a čitatel je nějaká konstanta. Podíl reálné konstanty a nekonečna je 0. V šesté části tohoto rychlokurzu se naučíte trochu elegantnějšího určení této limity.

Limita tedy vyjde 1/3.

Určení dominantního členu

Abychom mohli vytknout nějaký člen, pokrátit jej a zbytek poslat do nuly, musíme vědět, který člen to je. Co roste rychleji než něco jiného. Poslouží tento seznam nerovností. "<<" znamená prudkou (TODO) nerovnost — tj. že jedna funkce bude časem nabývat mnohem větších hodnot.

Mějme proměnnou $LaTeX: n$ , která jde do nekonečna a nějaké reálné konstanty $LaTeX: a$ a $LaTeX: k$ , obě větší než 1.

n << n^k << a^n << n! << n^n

Slovy řečeno — lineární funkce << polynom (k by v tomto případě melo být přirozené číslo) << exponenciální funkce << faktoriál << n^n :-).

Budeme tedy mít limitu:

$LaTeX: \lim_{n \to \infty} \frac{2^n + n^2 + 4n + 2}{4^n + 6n^2 + 2n + 5}$ .

Vytkneme $LaTeX: 2^n$ , pokrátíme, čitatel jde k jedničce, jmenovatel jde do nekonečna (zbylo nám tam $LaTeX: 2^n$ ), výsledek je nula.

Odmocniny

Mějme limitu:

$LaTeX: \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{4n^2 + 3n} - \sqrt{4n^2}\right)$ .

Vychází nekonečno minus nekonečno. Jak se zbavit odmocnin? To jistě znáte z usměrňování zlomků. Stačí šikovně rozšířit. V tomto případě zlomkem, který bude mít v čitateli i jmenovateli $LaTeX: \sqrt{4n^2 + 3n} + \sqrt{4n^2}$ . Dostaneme tak náběh na vzorec $LaTeX: (a - b) \cdot (a + b) = a^2 - b^2$ . Dostáváme tak:

$LaTeX: \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + 3n - 4n^2}{\sqrt{4n^n + 3n} + \sqrt{4n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n}{2 n \cdot (\sqrt{1 + \frac{3}{4n}} + 1)} = \frac 34$

Zde jsem udělal dvě úpravy najednou. V čitateli jsem použil vzorec a ve jmenovateli jsem z odmocnin (obě šly do nekonečna) vytknul dominantní člen, který pak mohu krátit s tím v čitateli. Opět mi zbydou jen „zbytky”, u kterých víme, kam míří.

Podobně budeme pracovat s výrazem např. $LaTeX: \sqrt[3]{\dots} - \sqrt[3]{\dots}$ , jen budeme muset rozšířit tak, abychom v čitateli dostali $LaTeX: a^3 - b^3$ . Využijeme následující vzorec:

$LaTeX: a^n - b^n = (a - b) \cdot (a^{n-1} + a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^2 + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1})$

Při úpravě limity $LaTeX: \lim_{n \to \infty} \sqrt[4]{n^4 + 4n^3} - n$ postupujeme následovně:

Abychom se zbavili odmocniny, potřebujeme umocnit oba členy na čtvrtou, míříme tedy na vzorec $LaTeX: a^4 - b^4 = (a - b) (a^3 + a^2 b + ab^2 + b^3)$ . Jelikož v předpisu limity máme vlastně jen tu první závorku $LaTeX: (a - b)$ , je potřeba rozšířit celou tou druhou závorku, abychom po roznásobení dostali potřebný rozdíl čtvrtých mocnin. Do jmenovatele dostaneme součet nějakých neškodných výrazů a máme vyhráno.

$LaTeX: \lim_{n \to \infty} \sqrt[4]{n^4 + 4n^3} - n=\lim_{n \to \infty} \frac{(n^4+4n^3)-n^4}{\left(\sqrt[4]{n^4 + 4n^3}\right)^3+\left(\sqrt[4]{n^4 + 4n^3}\right)^2 n+\sqrt[4]{n^4 + 4n^3}\cdot n^2+n^3}=\lim_{n \to \infty} \frac{4n^3}{n^3\left(\left(\sqrt[4]{1 + \frac{4}{n}}\right)^3+\left(\sqrt[4]{1 + \frac{4}{n}}\right)^2+\sqrt[4]{1 + \frac{4}{n}}+1\right)}=$

$LaTeX: =\lim_{n \to \infty}\frac{4}{\left(\sqrt[4]{1 + \frac{4}{n}}\right)^3+\left(\sqrt[4]{1 + \frac{4}{n}}\right)^2+\sqrt[4]{1 + \frac{4}{n}}+1}=\frac{4}{1+1+1+1}=1$

Dva policajti

Verze pro limitu posloupnosti

Mějme posloupnosti $LaTeX: (a_n)_{n=1}^{\infty},(b_n)_{n=1}^{\infty},(c_n)_{n=1}^{\infty}$ takové, že platí náledující:

$LaTeX: \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n \geq n_0 : a_n \leq b_n \leq c_n$ (tedy od jistého indexu je hodnota $LaTeX: b_n$ mezi hodnotami $LaTeX: a_n$ a $LaTeX: c_n$ )

Speciálně:

Je-li $LaTeX: \lim_{n \to \infty}a_n=+\infty$ , pak $LaTeX: \lim_{n \to \infty}b_n$ existuje a je také rovna $LaTeX: +\infty$ .
Je-li $LaTeX: \lim_{n \to \infty}c_n=-\infty$ , pak $LaTeX: \lim_{n \to \infty}b_n$ existuje a je také rovna $LaTeX: -\infty$ .

Obecně:

Je-li $LaTeX: \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}c_n=A \in \mathbb{R}\cup\{\pm \infty\}$ (tedy limita posloupností $LaTeX: a_n,c_n$ existuje a je stejná pro obě posloupnosti),

pak $LaTeX: \lim_{n \to \infty}b_n$ existuje a je rovna A.

Tato věta je užitečná při výpočtu limit posloupností, jejichž limitu nelze z nějakého důvodu (který bývá často "pouze technického" rázu) přímo spočítat, ale které lze dobře odhadnout shora i zdola posloupnostmi, jež mají stejnou limitu.

Příklad 1:

$LaTeX: \lim_{n \to \infty}\left((-1)^n+\frac{4n}{n+1}\right)\cdot \ln n$

Daný výraz je typu "něco kladného krát něco, co jde do nekonečna", selským rozumem bychom tedy hádali, že limita bude $LaTeX: +\infty$ . Ovšem větu o aritmetice limit (součinu) nelze použít, protože záhy bychom zjistili, že $LaTeX: \lim_{n \to \infty}\left((-1)^n+\frac{4n}{n+1}\right)$ neexistuje.

Daný výraz lze však snadno zdola odhadnout posloupností:

$LaTeX: a_n:=\left(-1+\frac{4n}{n+1}\right)\cdot \ln n$

Přičemž není již problém ukázat, že $LaTeX: \lim_{n \to \infty}a_n=+\infty$ (můžeme k tomu již užít oné aritmetiky limit). Odtud pak díky lemmatu o dvou policajtech můžeme tvrdit, že i limita vyšetřované posloupnosti je $LaTeX: +\infty$ .

Příklad 2:

$LaTeX: \lim_{n \to \infty}\frac{2^n+(-2)^n}{2 \cdot 4^n}$

$LaTeX: 0 \leq \frac{2^n+(-2)^n}{2 \cdot 4^n} \leq \frac{2^n+2^n}{2 \cdot 4^n}$

$LaTeX: \lim_{n \to \infty}0=0, \lim_{n \to \infty}\frac{2^n+2^n}{2 \cdot 4^n}=\lim_{n \to \infty}\frac{2 \cdot 2^n}{2 \cdot 4^n}=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n=0$

Tedy hledaná limita je rovna nule.

Verze pro limitu funkce

Lemma je obdobné, akorát co se tvrdí ve verzi pro posloupnosti o trojici posloupností od jistého indexu a limitě posloupnosti, to se zde bude tvrdit o trojici funkcí na nějakém okolí bodu, v němž zjišťujeme limitu a limitě funkce v onom bodu.

Příklad 1:

$LaTeX: \lim_{x \to 0}x \cdot \sin \left( \frac{1}{x} \right)$

Příklad je typu "něco omezeného krát něco nulového", ovšem to "něco omezeného" (tedy $LaTeX: \sin \left( \frac{1}{x} \right)$ ) nemá samo o sobě limitu v 0, nelze tedy použít větu o aritmetice limit.
Stačí ovšem uvážit dvojicí funkcí:

$LaTeX: f_1(x)=|x|, \text{ } f_2(x)=-|x|$ , pak zřejmě (dokonce pro libovolné reálné $LaTeX: x$ ) platí

$LaTeX: f_2(x)\leq x \cdot \sin \left( \frac{1}{x} \right) \leq f_1(x), \text{ } \lim_{x \to 0}f_1(x)=\lim_{x \to 0}f_2(x)=0 \Rightarrow \lim_{x \to 0} x \cdot \sin \left( \frac{1}{x} \right)=0$

Tabulkové limity

U některých složitějších limit budeme používat některé tabulkové limity. Jejich důkazy zde vypisovat nebudu, často se jedná o L'Hospitalovo pravidlo (popsané v deváté sekci).

Zkuste si jednotlivé limity nakreslit, ať víte, co znamenají geometricky.

$LaTeX: \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
$LaTeX: \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\arctan{x}}{x} = 1$
$LaTeX: \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
$LaTeX: \lim_{x \to 0} \frac{\log (1 + x)}{x} = \lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x - 1} = 1$
$LaTeX: \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac 12$
$LaTeX: \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ (díky dalšímu kroku tuto limitu tolik potřebovat nebudeme)

Je celkem běžné, že v úvodu do matematické analýzy je spousta limit šroubována na tyto tabulkové limity, takže jejich výpočet nedá tolik práce. Ale k tomu se ještě dostaneme.

Částečné limitění a obecná mocnina

Častou chybou je, že se student snaží „zlimitit” část výrazu a zbytek až později. To jde však jen za přesně stanovených podmínek (o kterých si řekneme v dalších krocích) a je třeba je v písemce či u zkoušky okomentovat.

Proto pokud máme limitu:

$LaTeX: \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e,$

nemůžeme si říct „závorka jde do jedničky a jednička na něco velkýho bude furt jednička”. Tak to nefunguje. Musíme použít nějaký jiný způsob

Co se týče obecné mocniny, tak ta nám pomáhá počítat limity s exponenciálními funkcemi $LaTeX: a^x$ , kde $LaTeX: a$ je kladná konstanta a $LaTeX: x$ je nezávislá proměnná. Moc neumíme s takovými výrazy pracovat, pokud si však uvědomíme, proč platí následující rovnost: $LaTeX: a^x = e^{x \cdot \log a}$ (za podmínek, které jsem psal), tak společně se znalostí limity složené funkce (devátá část) nám vše půjde mnohem snadněji.

Aritmetika limit

Mějme dvě funkce, f(x) a g(x) a nechť v bodě $LaTeX: c$ mají limity A, resp. B, které patří do rozšířeného oboru reálných čísel ( $LaTeX: \mathbb{R}^{\small{*}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$ ). Pak platí:

$LaTeX: \lim_{x \to c} \left(f(x) + g(x)\right) = A + B$

$LaTeX: \lim_{x \to c} f(x) \cdot g(x) = A \cdot B$

$LaTeX: \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac AB$

Pokud jsou výrazy na pravé straně definovány!

Aritmetiku limit je potřeba pořádně absorbovat, budete ji používat často. Jde o to, že si funkci mohu „roztrhnout” na více funkcí, pokud každá z dílčích „subfunkcí” má svou limitu a celkový součet/součin/podíl limit je definován.

Pozor tedy na výrazy $LaTeX: (+\infty) - (+\infty)$ , $LaTeX: \frac{+\infty}{+\infty}$ , $LaTeX: 0 \cdot (\pm \infty)$ , … a na případ, kdy limita některé ze „subfunkcí” neexistuje!

Limita složené funkce

Nechť máme opět dvě funkce — g(x) a f(y) a existují limity:

$LaTeX: \lim_{x \to c} g(x) = A$

$LaTeX: \lim_{y \to A} f(y) = B$

A platí alespoň jedna z následujících podmínek:

P) Funkce g se na prstencovém okolí bodu c vyhýbá své limitě A. Tj. $LaTeX: \exists \delta, \delta > 0 \forall x \in P(c, \delta): g(x) \neq A$ . S) Funkce f je spojitá v A.

Pak platí $LaTeX: \lim_{x \to c} f\left(g(x)\right) = B$ .

Zde je též potřeba větu pořádně pochopit. Jde nám o to, že pokud nám vnitřní funkce jde k nějaké hodnotě a my v této hodnotě známe limitu vnější funkce (a platí alespoň jedna z daných podmínek), rovná se limita složené funkce té limitě vnější funkce.

Použití v praxi najdete v poslední části tohoto rychlokurzu.

L’Hospitalovo pravidlo

Najväčší problém je pri výpočte limít funkcií tvaru $LaTeX: \frac{f{\left(x\right)}}{g{\left(x\right)}}$ , kde $LaTeX: \lim_{x\to a}{f{\left(x\right)}}=\lim_{x\to a}{g{\left(x\right)}}=0$ , poprípade $LaTeX: \lim_{x\to a}{\left|f{\left(x\right)}\right|}=\infty$ .
Avšak v prípade že tie funkcie sú derivovateľné na okolí a a naviac $LaTeX: \lim_{x\to a}{\frac{f^{\prime}{\left(x\right)}}{g^{\prime}{\left(x\right)}}}=L$ máme vyhraté, lebo potom aj $LaTeX: \lim_{x\to a}{\frac{f{\left(x\right)}}{g{\left(x\right)}}}=L$ .
Symbol a môže znamenať číslo, číslo zľava, číslo sprava, mínus nekonečno, nekonečno.
Pozor, L'Hospitalovo pravidlo sa nedá otočiť. Keď zistíte, že $LaTeX: \lim_{x\to a}{\frac{f^{\prime}{\left(x\right)}}{g^{\prime}{\left(x\right)}}}$ neexistuje, neznamená to nutne, že aj pôvodná limita neexistuje. Napr. $LaTeX: \lim_{x\to \infty}{\frac{x}{\sin{\left(x\right)}+x}}=1$ , ale $LaTeX: \lim_{x\to \infty}{\frac{1}{\cos{\left(x\right)}+1}}$ ani nemá zmysel, lebo nie je na okolí nekonečna definovaná . Ak by ste chceli príklad, kde limita má zmysel, ale neexistuje, stačí vymeniť čitateľa s menovateľom
V praxi sa hlavne kvôli predchádzajúcej poznámke väčšinou snažíme L'Hospitalovi vyhnúť a radšej použiť iné metódy.L'Hospitalovo pravidlo je výhodné použiť v prípade, že výpočet implementujeme do počítačového programu, poprípade keď je derivovanie jednoduché a iné metódy vyžadujú oveľa viac času.

Praxe

Zde budu jen heslovitě popisovat jednotlivé kroky při řešení některých složitějších limit.

Logaritmy

$LaTeX: \lim_{x \to 0} \frac{\log (\cos x)}{x^2}$

S logaritmem známe jen jednu limitu a zde vidíme, že nám argument (celkem pěkně) jde do jedničky, použijeme tedy limitu složené funkce (s limitou D) - splněna je podmínka P. Abychom ji však mohli použít, potřebujeme něco speciálního ve jmenovateli. Rozšíříme tedy.

$LaTeX: \lim_{x \to 0} \frac{\log (\cos x)}{x^2} \cdot \frac{\cos x - 1}{\cos x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\log (\cos x)}{\cos x - 1} \cdot \frac{\cos x - 1}{x^2}$

První zlomek nám jde do jedničky, přes aritmetiku si to rozdělíme na součin dvou limit (každá limita limití jeden ze zlomků) a počítáme:

$LaTeX: \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} -\frac{1 - \cos x}{x^2} = -\frac 12$ (limita F)

$LaTeX: 1 \cdot \left(-\frac 12\right) = -\frac 12$ .

Rozdíl exponenciálních funkcí

$LaTeX: \lim_{x\to0}\frac{2^x-3^x}{\sin x}$

Jak si zvyknete na aritmetiku, začnete ji používat trochu jinak, protože např. tabulková limita A se sinem nám vlastně říká „funkce f(x) = sin x a g(x) = x se chovají kolem nuly celkem podobně, můžeme je tedy v limitě k nule mezi sebou měnit”, zjednodušeně.

$LaTeX: \lim_{x \to 0 } \frac{2^x - 3^x}{x} \cdot \frac{x}{\sin x}$

Rozšířili jsme x/x, druhý zlomek (přes limitu podílu) jde k jedničce, tak jej pomocí aritmetiky oddělíme a počítáme limitu zbytku. Využijeme toho, že sice neumíme pracovat s exp. funkcemi, ale můžeme si je přepsat pomocí znalosti obecné mocniny.

$LaTeX: \lim_{x \to 0} \frac{e^{x \log 2} - e^{x \log 3}}{x}$

Tady to vypadá na tabulkovou limitu C, ale chybí nám tam ty jedničky… tak si je tam dopíšeme.

$LaTeX: \lim_{x \to 0} \frac{e^{x \log 2} - 1 + 1 - e^{x \log 3}}{x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{e^{x \log 2} -1}{x} + \frac{1 - e^{x \log 3}}{x}\right)$

Teď už se jedná jen o hrátky s limitou složené funkce.

TODO další příklady.

Teď už stačí jen používat výše zmíněná pravidla a věty a počítat, počítat, počítat, časem si na ně zvyknete. Hodně štěstí.