MatWiki - Poslední změny [cs]

Příklad 18

Zdenek1 — Wed, 16 May 2012 08:46:55 GMT

← Starší verze		Verze z 16. 5. 2012, 08:46
Řádka 12:		Řádka 12:
	Protože elipsa prochází bodem <math>Z_1</math>, musí jeho souřadnice tuto rovnici splňovat.		Protože elipsa prochází bodem <math>Z_1</math>, musí jeho souřadnice tuto rovnici splňovat.
	:<math>\parstyle\begin{eqnarray}\frac{(0-2)^2}{a^2}+\frac{(2-3)^2}{9}&=&1\\\frac4{a^2}+\frac19&=&1\\\frac4{a^2}&=&\frac89\\a&=&\frac3{\sqrt2} \end{eqnarray}</math>		:<math>\parstyle\begin{eqnarray}\frac{(0-2)^2}{a^2}+\frac{(2-3)^2}{9}&=&1\\\frac4{a^2}+\frac19&=&1\\\frac4{a^2}&=&\frac89\\a&=&\frac3{\sqrt2} \end{eqnarray}</math>
-	Protože $b>a$ je délka hlavní poloosy <math>b=3</math>.	+	Protože <math>b>a</math> je délka hlavní poloosy <math>b=3</math>.

	Vzdálenost ohniska od vedlejšího vrcholu je 3.		Vzdálenost ohniska od vedlejšího vrcholu je 3.
	[[Kategorie:Maturita 2012]][[Kategorie:Kuželosečky]]		[[Kategorie:Maturita 2012]][[Kategorie:Kuželosečky]]

Příklad 22

Zdenek1 — Wed, 16 May 2012 08:39:36 GMT

Založena nová stránka: == Zadání == Pokud se válec naplněný kapalinou nakloní o 60°, polovina objemu válce se vyprázdní. V jakém poměru jsou poloměr <math>r</math> podstavy a výšk…

Nová stránka

== Zadání ==
Pokud se válec naplněný kapalinou nakloní o 60°, polovina objemu válce se vyprázdní.

V jakém poměru jsou poloměr <math>r</math> podstavy a výška <math>v</math> válce?

== Řešení ==
[[Soubor:Img0030.png|right]]
Z obrázku je zřejmé, že platí (modrý trojúhelník):
:<math>\parstyle\begin{eqnarray*}\frac{2r}v&=&\text{cotg}\,60^\circ\\\frac{2r}v&=&\frac{\sqrt3}3\\\frac{r}v&=&\frac{\sqrt3}6\end{eqnarray*}</math>.
[[Kategorie:Maturita 2012]][[Kategorie:Stereometrie]][[Kategorie:Planimetrie]]

Soubor:Img0030.png

Zdenek1 — Wed, 16 May 2012 08:28:40 GMT

načítá „[[Soubor:Img0030.png]]“

Nová stránka

Příklad 19

Zdenek1 — Wed, 16 May 2012 08:13:24 GMT

Založena nová stránka: == Zadání == V kartézské soustavě souřadnic <math>Oxy</math> je sestrojen graf funkce <math>f</math>. Soubor:Img0029.png Hodnoty funkce <math>g</math> jsou pře…

Nová stránka

== Zadání ==
V kartézské soustavě souřadnic <math>Oxy</math> je sestrojen graf funkce <math>f</math>.

[[Soubor:Img0029.png]]

Hodnoty funkce <math>g</math> jsou převrácenými hodnotami funkce <math>f</math>, tedy platí:
:<math>g:y=\frac1{f(x)}</math>
Který z následujících grafů je grafem funkce <math>g</math>?

[[Soubor:Img0028.png]]

== Řešení ==
Graf funkce <math>f</math> je po částech lineární, takže graf funkce <math>g</math> bude složen z linárních lomených funkcí, tj. z částí hyperbol. Tomu odpovídají pouze grafy A a C. Ovšem hodnoty funkce <math>f</math> jsou vždy kladné, takže i hodnoty funkce <math>g=\frac 1f</math> musí být kladné. Tomu odpovídá z dvojice A a C jen graf na obrázku C.

Grafem funkce <math>g</math> je graf na obrázku C.
[[Kategorie:Maturita 2012]][[Kategorie:Funkce]]

Soubor:Img0028.png

Zdenek1 — Wed, 16 May 2012 08:06:06 GMT

načítá „[[Soubor:Img0028.png]]“

Nová stránka

Příklad 20

Zdenek1 — Sun, 13 May 2012 09:29:28 GMT

Založena nová stránka: == Zadání == Pro vnitřní úhel <math>\alpha</math> obecného trojúhelníku <math>\mathsf{ABC}</math> plati, že hodnoty :<math>\sin\alpha,\ \tan\alpha,\ \frac1{\cos\…

Nová stránka

== Zadání ==
Pro vnitřní úhel <math>\alpha</math> obecného trojúhelníku <math>\mathsf{ABC}</math> plati, že hodnoty
:<math>\sin\alpha,\ \tan\alpha,\ \frac1{\cos\alpha}</math>
tvoří tří po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Jaký je kvocient této posloupnosti?

== Řešení ==
Pro kvocient geometrické posloupnosti platí:
:<math>q=\frac{a_2}{a_1}\qquad\qquad\ \ (1)</math>
a současně pro tři za sebou jdoucí členy platí:
:<math>\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}\qquad\qquad(2)</math>
Dosazením do rovnice (2)
:<math>\parstyle\begin{eqnarray*}\frac{\tan\alpha}{\sin\alpha}&=&\frac{\frac1{\cos\alpha}}{\tan\alpha}\\\tan^2\alpha&=&\tan\alpha\\\tan\alpha\cdot(\tan\alpha-1)&=&0 \end{eqnarray*}</math>
(a) <math>\tan\alpha=0</math>: toto řešení v obecném trojúhelníku nevyhovuje<br>
(b) <math>\tan\alpha=1</math>: v obecném trojúhelníku vyhovuje pouze <math>\alpha=\frac\pi4</math>.

Dosazením do (1) dostaneme
:<math>q=\frac{\tan\frac\pi4}{\sin\frac\pi4}=\frac1{\frac{\sqrt2}2}=\sqrt2</math>

[[Kategorie:Maturita 2012]][[Kategorie:Geometrické posloupnosti]]

Příklad 18

Zdenek1 — Sun, 13 May 2012 07:52:50 GMT

Založena nová stránka: == Zadání == Elipsa, jejíž osy jsou rovnoběžné s osami souřadnic <math>x</math>, <math>y</math>, se jedné z nich dotýká v bodě <math>X [2; 0]</math> a druhou os…

Nová stránka

== Zadání ==
Elipsa, jejíž osy jsou rovnoběžné s osami souřadnic <math>x</math>, <math>y</math>, se jedné z nich dotýká v bodě <math>X [2; 0]</math> a druhou osu protíná v bodech <math>Y_1[0; 2]</math> a <math>Y_2[0; 4]</math>. Jaká je vzdálenost ohniska od vedlejšího vrcholu elipsy?

== Řešení ==
[[Soubor:Img0026.png|right]]
Vzdálenost ohniska od vedlejšího vrcholu elipsy je rovna délce hlavní poloosy (na obrázku - pouze ilustračním - je označena <math>a</math>). Úloha se redukuje tedy na to, najít hlavní poloosu dané elipsy. Protože bod <math>X</math> je bod dotyku, je <math>x</math>-ová souřadnice středu elipsy <math>S</math> <math>m=2</math>. Současně <math>y</math>-ová souřadnice <math>n</math> musí ležet ve středu mezi <math>Y_1</math> a <math>Y_2</math> , tj. <math>n=\frac{2+4}2=3</math>.

Rovnice elipsy se středem <math>S[2;3]</math> je
:<math>\frac{(x-2)^2}{a^2}+\frac{(y-3)^2}{b^2}=1</math>
Protože elipsa prochází bodem <math>X</math>, musí jeho souřadnice tuto rovnici splňovat.
:<math>\parstyle\begin{eqnarray*}\frac{(2-2)^2}{a^2}+\frac{(0-3)^2}{b^2}&=&1\\\frac9{b^2}&=&1\\b&=&3 \end{eqnarray*}</math>
Protože elipsa prochází bodem <math>Z_1</math>, musí jeho souřadnice tuto rovnici splňovat.
:<math>\parstyle\begin{eqnarray*}\frac{(0-2)^2}{a^2}+\frac{(2-3)^2}{9}&=&1\\\frac4{a^2}+\frac19&=&1\\\frac4{a^2}&=&\frac89\\a&=&\frac3{\sqrt2} \end{eqnarray*}</math>
Protože $b>a$ je délka hlavní poloosy <math>b=3</math>.

Vzdálenost ohniska od vedlejšího vrcholu je 3.
[[Kategorie:Maturita 2012]][[Kategorie:Kuželosečky]]

Příklad 14

Zdenek1 — Sun, 13 May 2012 07:21:26 GMT

Založena nová stránka: == Zadání == V osudí je 6 koulí označených písmeny K, L, M, N, O, P. Koule se postupně vytahují a žádná z nich se do osudí nevrací. Přlřaďte ke každému j…

Nová stránka

== Zadání ==
V osudí je 6 koulí označených písmeny K, L, M, N, O, P. Koule se postupně vytahují a žádná z nich se do osudí nevrací. Přlřaďte ke každému jevu s níž může nastat:
*Druhá v pořadí bude tażena koule M.
*Mezi prvními třemi taženými koulemi bude koule M.
*Mezi prvními třemi bude tażena koule M, avšak ne první v pořadí.

== Řešení ==
Každá pozice koule M je steně pravděpodobná. Protože koulí je <math>6</math>, je pravděpodobnost koule M na jedné konkrétní pozici <math>\frac16</math>.
* <math>P_1=\frac16</math>
* Koule musí být na první, nebo druhé, nebo třetí pozici: <math>P_2=\frac16+\frac16+\frac16=\frac12</math>
* Koule je na druhé, nebo na třetí pozici: <math>P_3=\frac16+\frac16=\frac13</math>
[[Kategorie:Maturita 2012]][[Kategorie:Pravděpodobnost]]

Příklad 16

Zdenek1 — Sat, 12 May 2012 08:42:37 GMT

Založena nová stránka: == Zadání == Po výměně ředitele multikina se zvýšila celková návštěvnost o 15 %. Počet dětských návštěvníků, kteří dříve odebírali desetinu prodan…

Nová stránka

== Zadání ==
Po výměně ředitele multikina se zvýšila celková návštěvnost o 15 %. Počet dětských návštěvníků, kteří dříve odebírali desetinu prodaných vstupenek, se díky účasti škol zvýšil o 45 %, naopak počet důchodců, kteří dříve odebírali pětinu prodaných vstupenek, se nezměnil. O kolik procent se zvýšil počet ostatnich návštěvníků?

== Řešení ==
Původní počet návštěvníků označíme <math>x</math>. Podle zadání nastaly následující změny
:děti: <math>\frac x{10}\ \rightarrow\ 1{,}45\cdot\frac x{10}</math>
:důchodci: <math>\frac x{5}\ \rightarrow\ \frac x{5}</math>
:ostatní: <math>\frac {7x}{10}\ \rightarrow\ k\cdot\frac{7x}{10}</math>
:celkem: <math>x\ \rightarrow\ 1{,}15\cdot x</math>
Po výměně ředitele bude platit
:<math>\parstyle\begin{eqnarray*}1{,}15x&=&1{,}45\frac x{10}+\frac x5+k\frac{7x}{10}\\1{,}15&=&\frac{1{,}45}{10}+\frac2{10}+\frac{7k}{10}\\11{,}5&=&3{,}45+7k\\7k&=&8{,}05\\k&=&1{,}15 \end{eqnarray*}</math>
Počet ostatních návštěvníků se zvětšil o 15 %.
[[Kategorie:Maturita 2012]]

Příklad 17

Zdenek1 — Sat, 12 May 2012 08:28:19 GMT

Založena nová stránka: == Zadání == Předpokládejme, že 25 % vzdělaných lidi je bohatých a mezi bohatými je polovina vzdělaných. Předpokládejme dále, že 25 % lidí není ani bohatý…

Nová stránka

== Zadání ==
Předpokládejme, že 25 % vzdělaných lidi je bohatých a mezi bohatými je polovina vzdělaných. Předpokládejme dále, že 25 % lidí není ani bohatých ani vzdělaných. Kolik procent lidí je vzdělaných a zároveň bohatých?

== Řešení ==
Označíme počet vzdělanýcj lidí <math>x</math>, počet bohatých lidí <math>y</math> a počet všech lidí <math>z</math>.

[[Soubor:Img0027.png]]

Když zapíšeme informace z textu do diagramu, vidíme, že musí platit
:<math>x+\frac x4=\frac34z\ \Rightarrow\ \frac x4=\frac3{20}z=\frac{15}{100}z</math>.
Bohatých a vzdělaných je 15 % lidí.
[[Kategorie:Maturita 2012]]

Soubor:Img0027.png

Zdenek1 — Sat, 12 May 2012 08:22:53 GMT

načítá „[[Soubor:Img0027.png]]“

Nová stránka

Místní odborné práce

Lukáš Havrlant — Fri, 11 May 2012 09:25:18 GMT

Bakalářské práce:

← Starší verze		Verze z 11. 5. 2012, 09:25
Řádka 16:		Řádka 16:
	\|-		\|-
	\|jarrro \|\| Jaroslav \|\| Považan \|\| [http://www.ulozto.sk/9605110/praca-pdf Inovatívna teória Lebesguovho integrálu]		\|jarrro \|\| Jaroslav \|\| Považan \|\| [http://www.ulozto.sk/9605110/praca-pdf Inovatívna teória Lebesguovho integrálu]
		+	\|}
		+
		+	== Diplomové práce ==
		+	{\| border="1" style="border-collapse: collapse;" cellpadding="5" class="wikitable sortable"
		+	!Uživatelské jméno
		+	!Jméno
		+	!Příjmení
		+	!Práce
		+	\|-
		+	\|Lukee \|\| Lukáš \|\| Havrlant \|\| [http://forum.matweb.cz/files/prace/fca-vyhledavac.pdf Vyhledávač založený na FCA]
	\|}		\|}