Definiční obor funkce y=sqrt(4-abs(x^2-5))

Zadání

Určete maximální definiční obor funkce

$LaTeX: f:y=\sqrt{4-|x^2-5|}.$

Aby měl výraz smysl, musí být výraz pod odmocninou nezáporný.

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}4-|x^2-5|&\geq&0\\4&\geq&|x^2-5|\end{eqnarray*}$

Protože jsou obě strany nerovnice nezáporné, můžeme nerovnici umocnit a zbavit se tak absolutní hodnoty.

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}16&\geq&x^4-10x^2+25\\x^4-10x^2+9&\leq&0\\(x^2-9)(x^2-1)&\leq&0\\(x-3)(x+3)(x-1)(x+1)&\leq&0 \end{eqnarray*}$

Určíme znaménka v příslušných intervalech. Výsledek je znázorněn v grafu. (Podrobný postup je například zde.)

Z grafu vidíme, že vyhovující intervaly jsou $LaTeX: \langle-3;-1\rangle$ a $LaTeX: \langle1;3\rangle$

$LaTeX: D_f=\langle-3;-1\rangle\cup\langle1;3\rangle$