Integrál cos^2x dx

Zadání

Vypočítejte

$LaTeX: \int \cos^2x\, \text dx$ .

Využitím identity

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\cos 2x&=&2\cos^2x-1\\\cos^2x&=&\frac{1+\cos2x}2\end{eqnarray*}$

upravíme integrál na tvar

$LaTeX: \int \cos^2x\, \text dx=\int \frac{1+\cos2x}2\, \text dx=\frac12\left(\int \, \text dx+\int\cos2x\, \text dx \right)\qquad(1)$

Výpočet prvního integrálu:

$LaTeX: \int \, \text dx=x+C_1$

Výpočet druhého integrálu: Pomocí substituce $LaTeX: t=2x,\qquad \frac{\text dt}{\text dx}=2$ dostaneme

$LaTeX: \int\cos2x\, \text dx=\frac12\int\cos t\text dt=\frac12\sin t+C_2=\frac12\sin 2x+C_2$

Dosazením do $LaTeX: (1)$ dostaneme

$LaTeX: \int \cos^2x\, \text dx =\frac12\left(x+C_1+ \frac12\sin 2x+C_2\right)=\frac{2x+\sin2x}4+C$