Kružnice opsaná a vepsaná šestiúhelníku

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Kružnice je opsán a vepsán pravidelný šestiúhelník. Rozdíl jejich obsahů je LaTeX: 8\sqrt3. Určete poloměr kružnice.

Řešení

Označíme poloměr kružnice LaTeX: r.
kružnice

Trojúhelník LaTeX: ASB je rovnostranný se stranou LaTeX: |AB|=a a výškou LaTeX: r. Vztah mezi výškou a stranou je

LaTeX: r=\frac{\sqrt3}2a\ \Rightarrow\ a=\frac{2\sqrt3}3r.

Pro obsah opsaného šestiúhelníka platí

LaTeX: S_o=6S_{\triangle}=6\frac{\sqrt3}4a^2=6\frac{\sqrt3}4\left(\frac{2\sqrt3}3r\right)^2=2\sqrt3r^2

Trojúhelník LaTeX: CSD je také rovnostranný, se stranou LaTeX: CD=r. Obsah vepsaného šestiúhelníka je

LaTeX: S_v=6S_{\triangle}=6\frac{\sqrt3}4r^2=\frac{3\sqrt3}2r^2

Podle zadání úlohy je

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}S_o-S_v&=&8\sqrt3\\2\sqrt3r^2-\frac{3\sqrt3}2r^2&=&8\sqrt3\\\frac{\sqrt3}2r^2&=&8\sqrt3\\r^2&=&16\\r&=&\pm4 \end{eqnarray*}

Protože poloměr nemůže být záporný, poloměr kružnice je LaTeX: r=4.

Citováno z „/index.php?title=Kru%C5%BEnice_opsan%C3%A1_a_vepsan%C3%A1_%C5%A1esti%C3%BAheln%C3%ADku“