Najděte předpis kvadratické funkce s vrcholem na ose x

Z MatWiki

Zadání

Určete předpis kvadratické funkce, která prochází body $LaTeX: A[0;1]$ a $LaTeX: B[2;9]$ a má vrchol na ose $LaTeX: x.$

Řešení

$LaTeX: y=ax^2+bx+c,\qquad a\neq0.$

Protože známe jen dva body, můžeme dosazením hodnot do tohoto předpisu získat jen dvě rovnice. Abychom mohli určit všechny tři parametry, potřebujeme ještě další rovnici. Tu získáme takto:

Pokud má funkce vrchol na ose $LaTeX: x,$ bude mít rovnice

$LaTeX: ax^2+bx+c=0$

právě jedno řešení, a proto její diskriminat bude nula.

Dostáváme tak soustavu tří rovnic

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray}1&=&c\\9&=&4a+2b+c\\0&=&b^2-4ac\end{eqnarray}$

Z $LaTeX: (1)$ dosadíme do $LaTeX: (2)$ a $LaTeX: (3)$ a dostaneme

$LaTeX: \begin{array}{l}9=4a+2b+1\\b^2=4a\end{array}\ \Rightarrow\ \begin{array}{l}b^2+2b-8=0\\b^2=4a\end{array}\ \Rightarrow\ \begin{array}{l}(b+4)(b-2)=0\\b^2=4a\end{array}\ \Rightarrow\ \begin{array}{l}b_1=-4\quad b_2=2\\a_1=4\quad a_2=1\end{array}$