Najděte předpis kvadratické funkce určené vrcholem a dalším bodem

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Určete předpis kvadratické funkce, která má vrchol LaTeX: V[1;12] a prochází bodem LaTeX: A[3;0].

Řešení

Obecný předpis kvadratické funkce je

LaTeX: y=ax^2+bx+c,\qquad a\neq0.

Protože známe jen dva body, můžeme dosazením hodnot do tohoto předpisu získat jen dvě rovnice. Abychom mohli určit všechny tři parametry, potřebujeme ještě další rovnici. Tu získáme z LaTeX: x-ové souřadnice vrcholu.

Pro LaTeX: x-ovou souřadnici vrcholu platí:

LaTeX: x_V=\frac{-b}{2a}.

Dostáváme tak soustavu tří lineárních rovnic pro tři neznámé LaTeX: a, LaTeX: b, LaTeX: c.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray}0&=&9a+3b+c\\12&=&a+b+c\\1&=&\frac{-b}{2a}\end{eqnarray}

Odečtením LaTeX: (1)-(2) a úpravou LaTeX: (3) dostaneme soustavu

LaTeX: \begin{array}{l}-12=8a+2b\\b=-2a\end{array}\ \Rightarrow\ \begin{array}{l}-6=4a+b\\b=-2a\end{array}\ \Rightarrow\ \begin{array}{l}-6=4a-2a\\b=-2a\end{array}\ \Rightarrow\ \begin{array}{l}a=-3\\b=6\end{array}

Nyní dopočítáme LaTeX: c například dosazením do LaTeX: (2).

LaTeX: 12=-3+6+c\ \Rightarrow\ c=9


Předpis hledané funkce je

LaTeX: y=-3x^2+6x+9.

2. způsob

Grafem kvadratické funkce je parabola s vrcholem LaTeX: V=(m;\,n)=(1;\,12)

Rovnice paraboly bude: LaTeX: y-n=2p(x-m)^2

Dosazením souřadnic bodu LaTeX: A[3;0] do předpisu vyjádříme parametr p tj:

LaTeX: 0-12=2p(3-1)^2

LaTeX: 2p=-3

Předpis hledané funkce bude:

LaTeX: y-12=-3(x-1)^2 úpravou

LaTeX: y=-3x^2+6x+9

Citováno z „/index.php?title=Najd%C4%9Bte_p%C5%99edpis_kvadratick%C3%A9_funkce_ur%C4%8Den%C3%A9_vrcholem_a_dal%C5%A1%C3%ADm_bodem“