Napište rovnici přímky

Z MatWiki

Zadání

Napište rovnici přímky, která prochází bodem $LaTeX: \mathsf A[-3;7]$ a má stejnou vzdálenost od bodů $LaTeX: \mathsf B[-4;-2]$ , $LaTeX: \mathsf C[2;4]$ .

Řešení

Rovnici budeme hledat ve tvaru $LaTeX: p:ax+by+c=0$ . Všechny přímky, které procházejí bodem $LaTeX: \mathsf M[x_0;y_0]$ pak můžeme zapsat ve tvaru $LaTeX: p:a(x-x_0)+b(y-y_0)=0.$ Dosazením souřadnic bodu $LaTeX: \matsf A$ dostaneme:

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray}p:a(x+3)+b(y-7)&=&0\nonumber\\ax+by+3a-7b&=&0\end{eqnarray}$

Vzdálenost bodu $LaTeX: \mathsf B$ od přímky $LaTeX: p$ je

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}d(p,B)&=&\dfrac{|-4a-2b+3a-7b|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{eqnarray*}$

a podobně vzdálenost od bodu $LaTeX: C$ je

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}d(p,C)&=&\dfrac{|2a+4b+3a-7b|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{eqnarray*}$ .

Z rovnosti vzdáleností dostaneme:

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\dfrac{|-a-9b|}{\sqrt{a^2+b^2}}&=&\dfrac{|5a-3b|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\|a+9b|&=&|5a-3b|\\(a+9b)^2&=&(5a-3b)^2\\(a+9b)^2-(5a-3b)^2&=&0\\(a+9b-5a+3b)(a+9b+5a-3b)&=&0\\(12b-4a)(6a+6b)&=&0\\ a=3b&\vee&a=-b \end{eqnarray*}$