Nerovnice abs(x^2-2x) menší než x

Z MatWiki

Zadání

Řešte nerovnici $LaTeX: |x^2-2x|<x$ v množině reálných čísel.

Řešení

Protože levá strana nerovnice je nezáporná a pravá strana je větší, musí být pravá strana nerovnice také nezáporná. Jsou tedy obě strany nerovnice nezáporné. V tom případě je umocnění obou stran na druhou ekvivalentní úprava. Můžeme proto psát:

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}|x^2-2x|^2&<&x^2\\(x^2-2x)^2-x^2&<&0\\(x^2-2x-x)(x^2-2x+x)&<&0\\x^2(x-3)(x-1)&<&0\end{eqnarray*}$