Objem a povrch válce 1

Z MatWiki

Zadání

Určete povrch a objem rotačního válce, který je vepsán do koule o poloměru 5 j (jednotek), jestliže obsah pláště válce je roven součtu obsahů obou jeho podstav.

Řešení

Poloměr koule označímě $LaTeX: R$ , poloměr válce $LaTeX: r$ a výšku válce $LaTeX: h$ . Obsah pláště je

$LaTeX: Q=2\pi rh$

a obsah podstav je

$LaTeX: S_p=2\pi r^2.$

Porovnáním těchto dvou výrazů zjistíme, že

$LaTeX: Q=S_p\ \Rightarrow\ 2\pi rh=2\pi r^2\ \Rightarrow\ h=r.$

V pravoúhlém trojúhelníku $LaTeX: ASB$ (obrázek) platí Pythagorova věta

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}R^2&=&r^2+\left(\frac h2\right)^2\\R^2&=&r^2+\left(\frac r2\right)^2\\R^2&=&\frac{5r^2}4\\r&=&\frac{2\sqrt5R}5 \end{eqnarray*}$