Příklad 11

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Pro LaTeX: n\in\mathbb N je definován výraz:

LaTeX: V(n)=\log2^n-\log2^{n-1}+\log2^{n-2}-\cdots +(-1)^{n-1}\cdot\log2
  • Vyjádřete jediným členem LaTeX: V(3).
  • Vypočítejte podíl LaTeX: \frac{V(5)}{V(4)}.
  • Vypočítejte rozdíl LaTeX: V(100)-V(99).

Řešení

Podle pravidel pro počítání s logaritmy můžeme LaTeX: V(n) přepsat do tvaru

LaTeX: V(n)=\log2[n-(n-1)+(n-2)-\cdots+(-1)^{n-1}]

Nyní se budeme zabývat pouze výrazem v závorce (označíme LaTeX: Z(n)) a rozbor rozdělíme na dva případy:
(a) LaTeX: n je sudé. Pak můžeme sečíst sousední dvojice

LaTeX: Z(n)=\underbrace{n-(n-1)}_1+\underbrace{(n-2)-(n-3)}_1+\dots+\underbrace{[n-(n-2)]-[n-(n-1)]}_1

Protože dvojic je LaTeX: \frac n2 a každá přispívá do součtu jedničkou, je výsledný součet

LaTeX: Z(n)=\frac n2

(b) LaTeX: n je liché. Nyní bude součet

LaTeX: Z(n)=\underbrace{n-(n-1)}_1+\underbrace{(n-2)-(n-3)}_1+\dots+\underbrace{[n-(n-3)]-[n-(n-2)]}_1+\underbrace{[n-(n-1)]}_1

Dvojic je LaTeX: \frac{n-1}2 a ještě jedna jednička navíc

LaTeX: Z(n)=\frac{n-1}2+1=\frac{n+1}2

Dostáváme tak vztah pro LaTeX: V(n)

LaTeX: V(n)=\begin{cases}n\ \mathrm{sud\acute{e}}\qquad \frac n2\log2\\n\ \mathrm{lich\acute{e}}\qquad\frac{n+1}2\log2\end{cases}
  • LaTeX: V(3)=\frac{3+1}2\log2=\log2^2
  • LaTeX: \frac{V(5)}{V(4)}=\frac{\frac{5+1}2\log2}{\frac42\log2}=\frac32
  • LaTeX: V(100)-V(99)=\frac{100}2\log2-\frac{99+1}2\log2=0
Citováno z „/index.php?title=P%C5%99%C3%ADklad_11“