Příklad 18

Z MatWiki

Zadání

Elipsa, jejíž osy jsou rovnoběžné s osami souřadnic $LaTeX: x$ , $LaTeX: y$ , se jedné z nich dotýká v bodě $LaTeX: X [2; 0]$ a druhou osu protíná v bodech $LaTeX: Y_1[0; 2]$ a $LaTeX: Y_2[0; 4]$ . Jaká je vzdálenost ohniska od vedlejšího vrcholu elipsy?

Řešení

Vzdálenost ohniska od vedlejšího vrcholu elipsy je rovna délce hlavní poloosy (na obrázku - pouze ilustračním - je označena $LaTeX: a$ ). Úloha se redukuje tedy na to, najít hlavní poloosu dané elipsy. Protože bod $LaTeX: X$ je bod dotyku, je $LaTeX: x$ -ová souřadnice středu elipsy $LaTeX: S$ $LaTeX: m=2$ . Současně $LaTeX: y$ -ová souřadnice $LaTeX: n$ musí ležet ve středu mezi $LaTeX: Y_1$ a $LaTeX: Y_2$ , tj. $LaTeX: n=\frac{2+4}2=3$ .

Rovnice elipsy se středem $LaTeX: S[2;3]$ je

$LaTeX: \frac{(x-2)^2}{a^2}+\frac{(y-3)^2}{b^2}=1$

Protože elipsa prochází bodem $LaTeX: X$ , musí jeho souřadnice tuto rovnici splňovat.

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac{(2-2)^2}{a^2}+\frac{(0-3)^2}{b^2}&=&1\\\frac9{b^2}&=&1\\b&=&3 \end{eqnarray*}$

Protože elipsa prochází bodem $LaTeX: Y_1$ , musí jeho souřadnice tuto rovnici splňovat.

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac{(0-2)^2}{a^2}+\frac{(2-3)^2}{9}&=&1\\\frac4{a^2}+\frac19&=&1\\\frac4{a^2}&=&\frac89\\a&=&\frac3{\sqrt2} \end{eqnarray*}$

Protože $LaTeX: b>a$ je délka hlavní poloosy $LaTeX: b=3$ .

Vzdálenost ohniska od vedlejšího vrcholu je 3.

Příklad 18

Z MatWiki

Zadání

Řešení

Zobrazení

Osobní nástroje

Navigace

Hledat

Nástroje