Příklad 20

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Pro vnitřní úhel $LaTeX: \alpha$ obecného trojúhelníku $LaTeX: \mathsf{ABC}$ plati, že hodnoty

$LaTeX: \sin\alpha,\ \tan\alpha,\ \frac1{\cos\alpha}$

tvoří tří po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Jaký je kvocient této posloupnosti?

Řešení

Pro kvocient geometrické posloupnosti platí:

$LaTeX: q=\frac{a_2}{a_1}\qquad\qquad\ \ (1)$

a současně pro tři za sebou jdoucí členy platí:

$LaTeX: \frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}\qquad\qquad(2)$

Dosazením do rovnice (2)

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac{\tan\alpha}{\sin\alpha}&=&\frac{\frac1{\cos\alpha}}{\tan\alpha}\\\tan^2\alpha&=&\tan\alpha\\\tan\alpha\cdot(\tan\alpha-1)&=&0 \end{eqnarray*}$

(a) $LaTeX: \tan\alpha=0$ : toto řešení v obecném trojúhelníku nevyhovuje
(b) $LaTeX: \tan\alpha=1$ : v obecném trojúhelníku vyhovuje pouze $LaTeX: \alpha=\frac\pi4$ .

Dosazením do (1) dostaneme

$LaTeX: q=\frac{\tan\frac\pi4}{\sin\frac\pi4}=\frac1{\frac{\sqrt2}2}=\sqrt2$

Příklad 20

Z MatWiki

Zadání

Řešení

Zobrazení

Osobní nástroje

Navigace

Hledat

Nástroje