Příklad 5

Zadání

Zjednodušte pro $LaTeX: n\in\mathbb N$

$LaTeX: \frac{2^{n+3}}{{n\choose0}+{n\choose1}+{n\choose2}+\cdots+{n\choose n}}=$

Protože

$LaTeX: {n\choose0}+{n\choose1}+{n\choose2}+\cdots+{n\choose n}=2^n$ ,

o čemž se snadno přesvědčíme, když do binomického rozvoje výrazu $LaTeX: (a+b)^n$

$LaTeX: (a+b)^n={n\choose0}a^nb^0+{n\choose1}a^{n-1}b+{n\choose2}a^{n-2}b^2+\cdots+{n\choose n}a^0b^n$

dosadíme $LaTeX: a=1$ , $LaTeX: b=1$ , můžeme výraz upravit

$LaTeX: \frac{2^{n+3}}{{n\choose0}+{n\choose1}+{n\choose2}+\cdots+{n\choose n}}=\frac{2^{n+3}}{2^n}=2^3=8$ .