Příklady 9, 10

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Středy stěn krychle s hranou LaTeX: a tvoří vrcholy pravidelného osmistěnu LaTeX: \mathsf{ABCDEF}.

soubor:Img0025.png

  • Vyjádřete délku lomené čáry LaTeX: \mathsf{ABCDEF} v závislosti na veličině LaTeX: a.
  • Vypočítejte, jakou část objemu krychle vyplní osmistěn, a výsledek vyjádřete zlomkem.

Řešení

  • Všechny hrany pravidelného osmistěnu mají stejnou délku rovnou polovině stěnové úhlopříčky příslušné krychle. Takže
LaTeX: |AB|=\frac{\sqrt2a}{2}
Délka lomené čáry LaTeX: \mathsf{ABCDEF} je
LaTeX: |\mathsf{ABCDEF}|=5\cdot\frac{\sqrt2a}{2}
  • Pravidelný osmistěn se skládá ze dvou shodných jehlanů. Objem jednoho jehlanu je
LaTeX: V_j=\frac13Sh, kde LaTeX: S je obsah čtverce LaTeX: \mathsf{BCDE} a LaTeX: h=\frac a2.
Objem osmistěnu
LaTeX: V_o=2\cdot\frac13\left(\frac{\sqrt2a}2}\right)^2\cdot\frac a2=\frac{a^3}6
Osmistěn vyplní LaTeX: \frac16 objemu krychle.
Citováno z „/index.php?title=P%C5%99%C3%ADklady_9,_10“