Rovnice (e^2)(x^(ln x))=x^3

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

V množině reálných čísel řešte rovnici LaTeX: e^2\cdot x^{\ln x}=x^3.

Řešení

Aby rovnice měla smysl, musí platit LaTeX: x>0. Za této podmínky můžeme obě strany rovnice zlogaritmovat. Základ logaritmu můžeme volit libovolně (ale tak, aby byl logaritmus definován), nicméně nejjednodušší je zvolit takový logaritmus, který už se v rovnici vyskytuje, tj. přirozený logaritmus.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}e^2\cdot x^{\ln x}&=&x^3\\ \ln(e^2\cdot x^{\ln x})&=&\ln(x^3)\end{eqnarray*}

S využitím vlastností logaritmu rovnici dále upravíme.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\ln e^2+\ln(x^{\ln x})&=&3\ln x\\2\ln e+(\ln x)\cdot(\ln x)&=&3\ln x\\\ln^2x-3\ln x+2&=&0\end{eqnarray*}

Nyní rovnici pomocí substituce LaTeX: a=\ln x převedeme na kvadratickou rovnici

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}a^2-3a+2&=&0\\(a-2)(a-1)&=&0\\a_1=2 & & a_2=1\end{eqnarray*}

Nyní se vrátíme k původní proměnné.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\ln x_1=2& &\ln x_2=1\\x_1=e^2& &x_2=e\end{eqnarray*}

Obě řešení vyhovují.

Citováno z „/index.php?title=Rovnice_(e%5E2)(x%5E(ln_x))%3Dx%5E3“