Rovnice 3(1/x^2)^2-2/x^2-1=0

Zadání

V množině reálných čísel řešte rovnici

$LaTeX: 3\left(\frac1{x^2}\right)^2-\frac2{x^2}-1=0$

Aby rovnice měla smysl, musí být $LaTeX: x\neq0$ . Za této podmínky můžeme použít substituci

$LaTeX: y=\frac1{x^2}>0\qquad (1).$

Rovnice tak přejde na tvar

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}3y^2-2y-1&=&0\\3y^2-3y+y-1&=&0\\3y(y-1)+(y-1)&=&0\\(3y+1)(y-1)&=&0 \end{eqnarray*}$

Tato rovnice má řešení

$LaTeX: y_1=-\frac13\quad\vee\quad y_2=1,$

přičemž podmínce $LaTeX: (1)$ vyhovuje pouze kořen $LaTeX: y_2.$ Nyní se vrátíme k původní neznámé.

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac1{x^2}&=&1\\x&=&\pm1\end{eqnarray*}$

Řešení: $LaTeX: x=\pm1$