Rovnice přímky vzdálené od bodu

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Napište obecnou rovnici přímky, která prochází bodem LaTeX: A[4;-2] a má od počátku soustavy souřadnic vzdálenost 2.

Řešení

Protože řešením jistě není přímka rovnoběžná s osou LaTeX: y (ta by měla rovnici LaTeX: x=4 a její vzdálenost od počátku je 4), můžeme přímku hledat ve tvaru LaTeX: y=kx+q (směrnicový tvar). Přímka, která prochází bodem LaTeX: A, má rovnici
LaTeX: y-2=k(x-4)\ \Rightarrow\ kx-y-4k-2=0\qquad(1)

Vzdálenost počátku od přímky je pak

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac{|-4k-2|}{\sqrt{k^2+1}}&=&2\end{eqnarray*}

a po úpravách

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}2|2k+1|&=&2\sqrt{k^2+1}\\4k^2+4k+1&=&k^2+1\\3k^2+4k&=&0\\k(3k+4)&=&0\end{eqnarray*}

získáme řešení

LaTeX: k_1=0\qquad\vee\qquad k_2=-\frac43

Hledané přímky dostaneme dosazením do LaTeX: (1).

LaTeX: -y-2=0\ \Rightarrow\ p_1:y+2=0
LaTeX: -\frac43x-y+4\frac43-2=0\Rightarrow\ p_2:4x+3y-10=0

2.způsob

Protože dle zadání má mít přímka od počátku souřadnic vzdálenost d = 2 potom tato přímka bude ležet na kružnici:

LaTeX: x^2+y^2=4 a bude mít tvar LaTeX: y=kx+q

a protože navíc má procházet bodem LaTeX: A\,(4;\,-2) můžeme psát:

LaTeX: -2=4k+q - úpravou bude mít rovnice přímky tvar:

LaTeX: y=kx-4k-2 LaTeX: (1) - toto dosadíme do rovnice kružnice a dostaneme

LaTeX: x^2+(kx-4k-2)^2=4 úpravou

LaTeX: x^2(k^2+1)-x(8k^2+4k)+16k^2+16k=0

Protože přímka má s kružnicí 1 společný bod (je to tečna), potom diskriminant této kvadratické rovnice musí být nula tj:

LaTeX: (8k^2+4k)^2-4(k^2+1)(16k^2+16k)=0 po úpravě dospějeme k rovnici:

LaTeX: k(3k+4)=0 z toho:

LaTeX: k_1=0\quad k_2=-\frac{4}{3}

pro k = 0

LaTeX: p_1:\,y=-2

pro k = -4 / 3

LaTeX: p_2:\,y=-\frac{4x}{3}+\frac{16}{3}-2

Hledané přímky jsou:

LaTeX: p_1:\,\, y+2=0

a

LaTeX: p_2:\,\, 4x+3y-10=0

Citováno z „/index.php?title=Rovnice_p%C5%99%C3%ADmky_vzd%C3%A1len%C3%A9_od_bodu“