Rovnice tečny ke křivce

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Obsah

Zadání

Určete rovnici tečny ke křivce $LaTeX: \mathcal K:x^2+y^2-xy-7=0$ v bodě dotyku $LaTeX: T[2;y_0],\ y_0>0.$

Řešení

Nejprve určíme souřadnici $LaTeX: y_0$ dosazením $LaTeX: x=2$ do rovnice křivky $LaTeX: \mathcal K.$

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}4+y_0^2-2y_-7&=&0\\y_0^2-2y_0-3&=&0\\(y_0-3)(y_0+1)&=&0 \end{eqnarray*}$

Podmínce $LaTeX: y_0>0$ vyhovuje pouze řešení $LaTeX: y_0=3$ . Bod dotyku je tedy $LaTeX: T[2;3]$ .

Bez derivací

Rovnici tečny budeme hledat ve tvaru $LaTeX: t:y=kx+q.$ Protože tečna prochází bodem $LaTeX: T$ , musí platit

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}3&=&2k+q\\q&=&3-2k\end{eqnarray*}$

Tečna má s křivkou společný právě jeden bod, a proto musí mít soustava

$LaTeX: \begin{cases}x^2+y^2-xy-7=0\\y=kx+q\end{cases}$

jediné řešení.

Dosadíme $LaTeX: y$ do kvadratické rovnice a po úpravě dostaneme

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}x^2+(kx+q)^2-x(kx+q)-7&=&0\\(k^2-k+1)x^2+(2kq-q)x+q^2-7&=&0\end{eqnarray*}$

Diskriminant této kvadratické rovnice musí být nula.

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}D=(2kq-q)^2-4(k^2-k+1)(q^2-7)&=&0\\4k^2q^2-4kq^2+q^2-4(k^2q^2-kq^2+q^2-7k^2+7k-7)&=&0\\-3q^2+28k^2-28k+28&=&0\end{eqnarray*}$

Dosadíme $LaTeX: q=3-2k.$

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}-3(3-2k)^2+28k^2-28k+28&=&0\\-27+36k-12k^2+28k^2-28k+28&=&0\\16k^2+8k+1&=&0\\(4k+1)^2&=&0\\k&=&-\frac14\end{eqnarray*}$