Rovnice x^3=i

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Obsah

Zadání

V množině komplexních čísel řešte rovnici LaTeX: x^3=i.

Řešení

Převedením na goniometrický tvar

Jednou z možností, jak řešit binomickou rovnici, je převedení pravé strany na goniometrický tvar.

LaTeX: i=1\left(\cos\frac\pi2+i\sin\frac\pi2\right)

Podle vztahu, který je uvedený zde, je

LaTeX: x_k=\sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{\frac\pi2+2k\pi}3+i\sin\frac{\frac\pi2+2k\pi}3\right)\quad k\in\{0,\ 1,\ 2\}

Dopočítáme jednotlivé kořeny a dostaneme

LaTeX: \parstyle\begin{array}{rclcl}x_0&=&\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6&=&\displaystyle\frac{\sqrt3+i}2\\ \\x_1&=&\cos\frac{5\pi}6+i\sin\frac{5\pi}6&=&\frac{-\sqrt3+i}2\\ \\x_2&=&\cos\frac{3\pi}2+i\sin\frac{3\pi}2&=&-i\end{array}

Rozkladem pomocí algebraických vzorců

Rovnici převedem na tvar

LaTeX: x^3-i=0.

Nyní využijeme identity LaTeX: i^3=-i a dostaneme

LaTeX: x^3+i^3=0.

Dále použijeme vzorec LaTeX: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}(x+i)(x^2-xi+i^2)&=&0\\x_1=-i&\vee&x^2-ix-1=0\end{eqnarray*}

Rovnici LaTeX: x^2-ix-1=0 vyřešíme pomocí diskriminantu.

LaTeX: D=(-i)^2+4=3
LaTeX: x_{2,3}=\frac{i\pm\sqrt3}2
Citováno z „/index.php?title=Rovnice_x%5E3%3Di“