Souřadnice bodů elipsy

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Určete souřadnice bodů elipsy

LaTeX: \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1,

které mají od jednoho ohniska 4 krát větší vzdálenost než od druhého ohniska.

Řešení

Elipsa má střed LaTeX: S[0;0], hlavní poloosu LaTeX: a=10 a vedlejší poloosu LaTeX: b=6. Excentricita je

LaTeX: e=\sqrt{a^2-b^2}=8.

Proto souřadnice ohnisek budou LaTeX: F_1[-8;0] a LaTeX: F_2[8;0].

Pro všechny body LaTeX: X elipsy platí

LaTeX: |F_1X|+|F_2X|=2a=20.

Podle podmínky úlohy platí

LaTeX: |F_2X|=4|F_1X|.

Dosazením dostáváme

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}|F_1X|+4|F_1X|&=&20\\5|F_1X|&=&20\\|F_1X|&=&4 \end{eqnarray*}

Poslední rovnost nám říká, že hledané body leží na kružnici se středem v ohnisku LaTeX: F_1 a s poloměrem 4. Rovnice této kružnice je

LaTeX: (x+8)^2+y^2=16.

Jelikož hledané body současně leží i na dané elipse, najdeme je řešením soustavy

LaTeX: \begin{cases}9x^2+25y^2=900\\(x+8)^2+y^2=16.\end{cases}


LaTeX: \begin{cases}9x^2+25y^2-900=0\\x^2+y^2+16x+48=0\quad |\cdot25\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}9x^2+25y^2-900=0\\25x^2+25y^2+400x+1200=0\end{cases}\ \Rightarrow\ 16x^2+400x+2100=0\ \Rightarrow\ 4x^2+100x+525=0

Řešení této kvadratické rovnice je LaTeX: x_1=-\frac{15}2 a LaTeX: x_2=-\frac{35}2. Protože ale body musí ležet na elipse, musí pro jejich x-ové souřadnice platit LaTeX: -10\leq x\leq10. Této podmínce vyhovuje jen kořen LaTeX: x_1. Nyní dopočítáme y-ové souřadnice

LaTeX: y=\pm\frac35\sqrt{100-x^2}=\pm\frac{3\sqrt7}2.

Hledané body mají souřadnice

LaTeX: X_1\left[-\frac{35}2;-\frac{3\sqrt7}2\right] a LaTeX: X_2\left[-\frac{35}2;\frac{3\sqrt7}2\right].

Celý problém je ale symetrický, protože hledané body mohou ležet i na kružnici se středem v ohnisku LaTeX: F_2. Podmínkám úlohy proto vyhovují i body

LaTeX: X_3\left[\frac{35}2;-\frac{3\sqrt7}2\right] a LaTeX: X_4\left[\frac{35}2;\frac{3\sqrt7}2\right].
Citováno z „/index.php?title=Sou%C5%99adnice_bod%C5%AF_elipsy“