Stanovte takové číslo, aby zvětšeno postupně o 2, 8, 20 dalo první tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti.

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Stanovte takové číslo, aby zvětšeno postupně o 2, 8, 20 dalo první tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Určete pak tyto členy a kvocient.

Řešení

Pro libovolné tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti LaTeX: a_1, LaTeX: a_2 a LaTeX: a_3 a kvocient LaTeX: q platí

LaTeX: q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}.

Pokud označíme hledané číslo LaTeX: x, bude pro ně platit

LaTeX: \frac{x+8}{x+2}=\frac{x+20}{x+8}.

Řšením této rovnice určíme hledané číslo. Pro LaTeX: x\neq-8, LaTeX: x\neq-2 můžeme rovnici upravit

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}(x+8)^2&=&(x+20)(x+2)\\x^2+16x+64&=&x^2+22x+40\\6x&=&24\\x&=&4 \end{eqnarray*}

Hledané členy jsou

LaTeX: \parstyle\begin{array}{lcccr}a_1&=&x+2&=&6\\a_2&=&x+8&=&12\\a_3&=&x+20&=&24 \end{array}

Kvocient je

LaTeX: q=\frac{x+8}{x+2}=\frac{12}6=2.
Citováno z „/index.php?title=Stanovte_takov%C3%A9_%C4%8D%C3%ADslo,_aby_zv%C4%9Bt%C5%A1eno_postupn%C4%9B_o_2,_8,_20_dalo_prvn%C3%AD_t%C5%99i_po_sob%C4%9B_jdouc%C3%AD_%C4%8Dleny_geometrick%C3%A9_posloupnosti.“