Umocňování relací

Zadání:V následujících úlohách <mathbb>R^n</mathbb> značí n-násobné složení relace R sama se sebou.

Nechť R je relace nad konečnou množinou X. Dokažte, že existují dvě různá přirozená čísla r a s taková, že $LaTeX: R^r=R^s$ .
Najděte příklad relace R nad nějakou množinou X, kde pro každé $LaTeX: n\in\mathbb{N}$ platí: $LaTeX: R^n\ne R^{n+1}$
Nech? R je relace. Dokažte následující ekvivalenci: R je tranzitivní $LaTeX: \Leftrightarrow R^2\subseteq R$

TODO: Hodilo by se přepsat sem odpovědi z fóra.