Určete asymptoty funkce y=x^2/(x^2-4)

Obsah

Určete asymptoty funkce $LaTeX: y=\frac{x^2}{x^2-4}.$

Definiční obor funkce je $LaTeX: D_f=\mathbb R\setminus\{\pm2\}.$

Asymptoty bez směrnice mohou existovat pouze v bodech $LaTeX: x=\pm2.$ Určíme jednostranné limity v těchto bodech.

$LaTeX: \lim_{x\rightarrow-2^-}\frac{x^2}{x^2-4}=\infty$

Asymptota existuje a má rovnici $LaTeX: a_1:x=-2.$
$LaTeX: \lim_{x\rightarrow2^+}\frac{x^2}{x^2-4}=\infty$

Asymptota existuje a má rovnici $LaTeX: a_2:x=2.$

Asymptota se směrnicí je přímka $LaTeX: y=kx+q,$ kde

$LaTeX: k=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{\frac{x^2}{x^2-4}}x=0$

$LaTeX: q=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}(f(x)-kx)=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^2}{x^2-4}=1$

Asymptota má rovnici $LaTeX: a_3:y=1.$