Určete koeficient v binomickém rozvoji

Z MatWiki

Zadání

Určete koeficient u $LaTeX: x^{-6}$ v binomickém rozvoji výrazu $LaTeX: \left(\sqrt[3]x-\frac2x\right)^{10}$ , kde $LaTeX: x\neq0$ .

Řešení

Podle binomické věty bude mít příslušný člen tvar

$LaTeX: {n\choose k}a^{n-k}b^k=Ax^{-6}$ ,

kde $LaTeX: A$ je hledaný koeficient.

Podle zadání je: $LaTeX: n=10,\quad a=\sqrt[3]x,\quad b=-\frac2x.$

Dosazením dostaneme rovnici

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray}{10\choose k}(\sqrt[3]x)^{10-k}\left(-\frac2x\right)^k&=&Ax^{-6}.\end{eqnarray}$

Protože konstanty nijak neovlivňují exponenty u $LaTeX: x$ , můžeme porovnáním těchto exponentů vypočítat hodnotu $LaTeX: k.$

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac{10-k}3-k&=&-6\\10-4k&=&-18\\-4k&=&-28\\k&=&7\end{eqnarray*}$

Zpětným dosazením do (1) dosatneme

$LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}{10\choose 7}(\sqrt[3]x)^{10-7}\left(-\frac2x\right)^7&=&Ax^{-6}\\{10\choose 7}(-2)^7&=&A\\A&=&-15360.\end{eqnarray*}$

Určete koeficient v binomickém rozvoji

Z MatWiki

Zadání

Řešení

Zobrazení

Osobní nástroje

Navigace

Hledat

Nástroje