Určete normálovou přímku

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Obsah

Zadání

Určete normálovou přímku k hyperbole LaTeX: \frac{x^2}3-y^2=1 tak, aby byla rovnoběžná s přímkou LaTeX: y=-\frac x2+1.

Řešení

Bez derivací

Normálová přímka je kolmá na tečnu. Protože pro směrnice kolmých přímek platí

LaTeX: k_1k_2=-1,

bude rovnice tečny

LaTeX: t:y=2x+q.

Tečna má s hyperbolou právě jeden společný bod, proto soustava LaTeX: \begin{cases}x^2-3y^2-3=0\\y=2x+q\end{cases} má jediné řešení. Po úpravách

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}x^2-3(2x+q)^2-3&=&0\\11x^2+12qx+3(q^2+1)&=&0 \end{eqnarray*}

dostáváme kvadratickou rovnici, jejíž diskriminat musí být nulový.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac D4=36q^2-33(q^2+1)&=&0\\q&=&\pm\sqrt{11} \end{eqnarray*}

Společný bod hyperboly a tečny má souřadnice LaTeX: x_0=-\frac{6q}{11}=\mp\frac{6\sqrt{11}}{11} a LaTeX: y_0=\mp\frac{\sqrt{11}}{11}. Vzhledem k tomu, že body jsou dva, budou dvě i normály. Určíme je pomocí rovnice

LaTeX: y-y_0=k(x-x_0)
LaTeX: n_1:y+\frac{\sqrt{11}}{11}=-\frac12\left(x+\frac{6\sqrt{11}}{11}\right)\ \Rightarrow\ y=-\frac x2-\frac{4\sqrt{11}}{11}
LaTeX: n_2:y-\frac{\sqrt{11}}{11}=-\frac12\left(x-\frac{6\sqrt{11}}{11}\right)\ \Rightarrow\ y=-\frac x2+\frac{4\sqrt{11}}{11}

Derivace implicitně zadané funkce

Derivací implicitně zadané funkce dostaneme

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac{x^2}3-y^2&=&1\\\frac{2x}3-2yy^\prime&=&0\\y^\prime&=&\frac{x}{3y} \end{eqnarray*}

vztah pro směrnici tečny. Protože normálová přímka je kolmá na tečnu a protože pro směrnice kolmých přímek platí

LaTeX: k_1k_2=-1,

bude v bodě dotyku

LaTeX: \frac{x}{3y}=2 tj. LaTeX: x=6y.

Dosazením do rovnice hyperboly určíme bod dotyku

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\frac{(6y_0)^2}3-y_0^2&=&1\\11y_0^2&=&1\\y_0&=&\pm\frac{\sqrt{11}}{11}\\x_0&=&\pm6\frac{\sqrt{11}}{11} \end{eqnarray*}

Další postup je stejný jako v předchozím postupu.

Citováno z „/index.php?title=Ur%C4%8Dete_norm%C3%A1lovou_p%C5%99%C3%ADmku“