Vlastnosti ekvivalencí
Z MatWiki
Zadání:Nechť R a S jsou nějaké dvě relace ekvivalence na množině X. Rozhodněte, zda následující množiny nutně jsou či nejsou relace ekvivalence na X:
'Řešení
- Ne. Zvolme X={1,2,3}, R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)}, S={(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1)}. Pak do
patří (3,1) a (1,2), ale nepatří do ní (3,2), což naruší tranzitivitu.
- Ano. Stačí rozmyslet, že
- Průnik dvou reflexivních je reflexivní
- Průnik dvou symetrických je symetrický: pokud průnik obsahuje (a,b), pak obě obsahují (a,b), ze symetrie jednotlivých relací obě obsahují (b,a), průnik obsahuje (b,a), průnik je symetrický
- Průnik dvou transitivních je transitivní: pokud průnik obsahuje (a,b) a (b,c), pak obě obsahují (a,b) a (b,c), z tranzitivity jednotlivých relací obě obsahují (a,c), průnik obsahuje (a,c), průnik je tranzitivní
- Ne, množinový rozdíl dvou reflexivních relací není reflexivní (dokonce snadno vidíme, že je ireflexivní)
- Ne, při stejné volbě jako v prvním příkladě do relace
patří (3,2), ale ne (2,3).
