Vypočítejte obsah obrazce ohraničeného křivkami y=-x a y = 1 - x^2

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Vypočítejte obsah obrazce ohraničeného křivkami LaTeX: y=-x a LaTeX: y = 1 - x^2.

Řešení

Obsah vypočítáme užitím určitého integrálu. Nejprve ale musíme vypočítat integrační meze.
obsah obrazce
LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray}1-x^2&=&-x\nonumber\\x^2-x-1&=&0\\x_1=\frac{1-\sqrt5}2& &x_2=\frac{1+\sqrt5}2\nonumber \end{eqnarray}


LaTeX: S=\int_{x_1}^{x_2}(1-x^2+x)\ \text dx=\left[x+\frac{x^2}2-\frac{x^3}3\right]_{x_1}^{x_2}

Pro číselný výpočet využijeme dvě rovnosti.

  • Z kořenových vlastností rovnice LaTeX: (1) vidíme, že LaTeX: x_1+x_2=1, tj. LaTeX: x_1=1-x_2 .
  • Protože obě meze jsou kořeny rovnice LaTeX: (1), platí pro ně LaTeX: x_i^2=x_i+1


LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}S&=&\left[\frac x6(6+3x-2x^2)\right]_{1-x_2}^{x_2}=\left[\frac x6(6+3x-2x-2)\right]_{1-x_2}^{x_2}=\left[\frac{x^2+4x}6\right]_{1-x_2}^{x_2}=\left[\frac{x+1+4x}6\right]_{1-x_2}^{x_2}=\left[\frac{5x+1}6\right]_{1-x_2}^{x_2}\\S&=&\frac{5x_2+1-[5(1-x_2)+1]}6=\frac{10x_2-5}6\\S&=&\frac{10\frac{1+\sqrt5}2-5}6\\S&=&\frac{5\sqrt5}6\end{eqnarray*}
Citováno z „/index.php?title=Vypo%C4%8D%C3%ADtejte_obsah_obrazce_ohrani%C4%8Den%C3%A9ho_k%C5%99ivkami_y%3D-x_a_y_%3D_1_-_x%5E2“