Vzdálenost bodu od přímky

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Určete vzdálenost bodu LaTeX: A[2;3;1] od přímky LaTeX: BC určené body LaTeX: B[2;1;0] a LaTeX: C[1;4;1].

Řešení

Směrový vektor přímky LaTeX: BC je

LaTeX: \vec s=(1-2;4-1;1-0)=(-1;3;1),

takže rovnice přímky LaTeX: BC je

LaTeX: BC:\begin{cases}x=2-t\\y=1+3t\\z=t\end{cases}.

Na přímce LaTeX: BC leží bod LaTeX: P takový, že LaTeX: \overrightarrow{AP}\perp \overrightarrow{BC}\qquad(1).

Protože LaTeX: P\in BC, platí pro jeho souřadnice

LaTeX: P[2-t_0;1+3t_0;t_0]

a

LaTeX: \overrightarrow{AP}=(2-t_0-2;1+3t_0-3;t_0-1)=(-t_0;3t_0-2;t_0-1).

Z podmínky LaTeX: (1) plyne

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BC}&=&0\\(-t_0;3t_0-2;t_0-1)\cdot(-1;3;1)&=&0\\t_0+9t_0-6+t_0-1&=&0\\11t_0-7&=&0\\t_0&=&\frac7{11} \end{eqnarray*}

takže

LaTeX: \overrightarrow{AP}=\left(-\frac7{11};-\frac1{11};-\frac4{11}\right).

Velikost vektoru LaTeX: \overrightarrow{AP} je pak

LaTeX: |AP|=\frac1{11}\sqrt{49+1+16}=\frac{\sqrt{66}}{11}.


Vzdálenost bodu LaTeX: A od přímky LaTeX: BC je LaTeX: \frac{\sqrt{66}}{11}.

Citováno z „/index.php?title=Vzd%C3%A1lenost_bodu_od_p%C5%99%C3%ADmky“