Rovnice sin(2x)=tan(x)

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

V množině reálných čísel řešte rovnici LaTeX: \sin2x=\tan x.

Řešení

Aby rovnice měla smysl, musí platit LaTeX: \cos x\neq0. Za této podmínky rovnici pomocí goniometrických vzorců upravíme.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\sin2x-\tan x&=&0\\2\sin x\cos x-\frac{\sin x}{\cos x}&=&0\\ \sin x\left(2\cos x-\frac1{\cos x}\right)&=&0\end{eqnarray*}

Tento součin je nula, pokud LaTeX: \sin x=0 nebo LaTeX: 2\cos x-\frac1{\cos x}=0.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\sin x&=&0\\x&=&k\pi,\quad k\in\mathbb Z\end{eqnarray*}
LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}2\cos x-\frac1{\cos x}&=&0\\2\cos^2x&=&1\\\cos x&=&\pm\frac{\sqrt2}2\\x&=&\frac\pi4+k\frac\pi2,\quad k\in\mathbb Z\end{eqnarray*}

Oba typy řešení vyhovují podmínce. Rovnice má řešení

LaTeX: x\in\left\{k\pi;\frac\pi4+k\frac\pi2\right\},\quad k\in\mathbb Z.
Citováno z „/index.php?title=Rovnice_sin(2x)%3Dtan(x)“