Rovnice sin3x=cos2x

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Obsah

Zadání

V množině reálných čísel řešte rovnici LaTeX: \sin3x=\cos2x.

Řešení

Pomocí vztahu LaTeX: \cos\alpha=\sin\left(\alpha+\frac\pi2\right) převedeme rovnici na tvar

LaTeX: \sin3x=\sin\left(2x+\frac\pi2\right).

Dále můžeme postupovat dvěma různými způsoby.

1. postup

Z vlastnosti funkce sinus přímo plyne

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}3x= 2x+\frac\pi2+2k\pi\quad&\vee&\quad 3x=\pi-\left(2x+\frac\pi2\right)+2k\pi\\x_1=\frac\pi2+2k\pi\quad&\vee&\quad 5x= \frac\pi2+2k\pi\ \Rightarrow\ x_2=\frac\pi{10}+\frac{2k\pi}5;\ k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}

2. postup

Rovnici dále upravíme na tvar

LaTeX: \sin3x-\sin\left(2x+\frac\pi2\right)=0

a využijeme vztah

LaTeX: \sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\sin\frac{\alpha-\beta}2

čímž rovnici převedeme na součin.

LaTeX: 2\cos\frac{3x+2x+\frac\pi2}2\sin\frac{3x-2x-\frac\pi2}2=0.

Tento součin se rovná nule právě tehdy, když

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}\cos\left(\frac{5x}2+\frac\pi4\right)=0\quad&\vee&\quad\sin\left(\frac x2-\frac\pi4\right)=0\\\frac{5x}2+\frac\pi4=\frac\pi2+k\pi\quad&\vee&\quad \frac x2-\frac\pi4=k\pi\\\frac{5x}2=\frac\pi4+k\pi \quad&\vee&\quad \frac x2=\frac\pi4+k\pi\\x_1=\frac\pi{10}+\frac{2k\pi}5 \quad&\vee&\quad x_2=\frac\pi2+2k\pi;\ k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}
Citováno z „/index.php?title=Rovnice_sin3x%3Dcos2x“